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先天易的数学基础初探
第三节 邵雍数学学派关于二进制序数换算问题的讨论
邵子先天易作为二进位制序数体系无疑是成立的，就像不能说只把写成阿拉伯数字形式才算是数字一样，无论从何角度也不要求非得把它换算成十进制不可。
理数是序数体系，有别于通常所用的基数体系。在介绍相关换算之前，有必要介绍两者在计数方式上的微小差别。基数从“没有”（0）开始，序数从“第一”开始。在十进位制表示中，从0到9十个基本记号来自基数的自然表达，对应于序数则是从第一（即以第“零”为一）到第十。同样的基本记数符号所代表的序数比基数多1,即n进制中符号系列a1a2…am所代表的序数为（a1a2…an）n+1。这种概念上的区别有非常明确的物理意义，如状态函数ψ(000)代表第一个状态（基态）。
先天易是以太极(阳)为基础构造的系统演化理论，在阴阳的关系上邵雍《观物外篇》指出：
阳不能自立，必得阴而后立，故阳以阴为基。阴不能自见，必待阳而后见， 故阴以阳为唱。
邵雍数学学派以数为出发点，理从数中来。因此这里首先讲数（阴阳）的关系。根据阴阳特性和“一每生二，自然之理”法则，阳爻相当于零值，阴爻相当于位值。
“阳以阴为基”是说假如没有阴爻在高位，阳爻的个数对序的大小不产生影响，即高于位值（阴）的零值符号（阳）对序没有贡献，所以称阳爻以阴爻为基。例如：阴“-
-”其对应序数为2，即(1)2＋1＝2；“兑”亦对应于序数2，即(001)2＋1＝2。
“阴以阳为唱”是说低位的阳爻高位的阴爻代表的位值倍增。例如：阴“- -”其对应序数为2，即(1)2＋1＝2；“巽”
其对应序数为5，即(100)2＋1＝5。
两句话说的是阴爻与阳爻在构成二进位制数的具体过程中表现出来的相互依存的两种不同的作用。即以阳为0，以阴为1高位在下的二进位制自然数。在《皇极经世书》中，“唱”与“和”均通用为相乘算法。下面我们从一个有趣的例子来介绍先天易中对二、十进制换算的处理。南宋张行成在《易通变》(又名《皇极经世通变》)卷一中说：
乾兑离震巽坎艮坤者，名也，名所以表其德；一、二、三、四、五、六、七、八者，数也，数所以定其位。位者，体也，故有位斯有卦；德者，用也，故有卦斯有爻。卦者，体也；爻者，用也。先天图反观之则乾一、巽二、离三、艮四、兑五、坎六、震七、坤八。乾坤坎离四卦不变，余四卦则震艮巽兑互相易矣。天之一、三不变，二、四变；地之六、八不变，五、七变。
卷三十八则有如下论述：
卦自内观之，则乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八；卦自外观之，则乾一、巽二、离三、艮四、兑五、坎六、震七、坤八。
先天卦数即大家都很熟悉的乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。张行成说，从内往外读，即初爻为高位，卦的理数值是这个结果。假如反过来，自外往内读，
即上爻为高位，则是乾一、巽二、离三、艮四、兑五、坎六、震七、坤八。
下面依上述“阳以阴为基，阴以阳为唱”的规则，转换成十进制值。若高低位的规定对换，则乾坤坎离四卦表示值不变，而震与艮、巽与兑的表示值互相交换。
乾(000) 2＋1＝1；
坤(111) 2＋1＝8；
坎(101) 2＋1＝6；
离(010) 2＋1＝3；
震由(011) 2＋1＝4变成(110) 2＋1＝7；